Principal Ideal Domain

释义 Definition（中文）

主理想整环：一种整环（没有零因子、可交换且有单位元的环），其中每个理想都能由单个元素生成，即任意理想都形如 ((a))。常缩写为 PID。在代数数论与交换代数中非常重要。

发音 Pronunciation（IPA）

/ˌprɪnsəpəl aɪˈdiːəl doʊˈmeɪn/

例句 Examples

A principal ideal domain is an integral domain in which every ideal is generated by one element.
主理想整环是一种整环，其中每个理想都由一个元素生成。

Over a principal ideal domain, every finitely generated module decomposes into a direct sum of cyclic modules.
在主理想整环上，每个有限生成模都可以分解为若干个循环模的直和。

词源 Etymology（中文）

该术语由三部分构成：principal（“主要的、首要的”，这里指“由一个主元生成”）、ideal（“理想”，在环论中指一种特殊子集结构）、domain（“整环”之意）。合起来强调：这是一个“整环”，并且其中的“理想”都具有“由一个元素生成”的性质，因此译作“主理想整环”。

相关词 Related Words

• Ring
• Ideal
• Integral Domain
• Euclidean Domain
• Unique Factorization Domain
• Dedekind Domain
• Noetherian Ring
• Module

文学与经典著作 Literary Works（出现示例）

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在理想、PID与模分解章节中系统讨论。
• Algebra（Serge Lang）——以更抽象的方式使用PID处理结构定理等主题。
• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在交换代数框架下提及PID与其性质、例子与对比。